問題:牙痛

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問題描述:當病人來看牙醫時,該病人可能有蛀牙或沒蛀牙,也可能有牙痛或沒有牙痛,而牙醫可能會找到牙痛的原因或找不到。

因此有下列三個隨機變數

X:(蛀) 蛀牙與否 (Cavity)
Y:(痛) 牙痛與否 (Toothache)
Z:(找) 是否找到痛的牙 (Catch)

假如這個問題個統計機率都已經知道了,如下表所示。

牙痛 (Y=1) 不牙痛 (Y=0)
找到 (Z=1) 找不到 (Z=0) 找到 (Z=1) 找不到 (Z=0)
蛀牙 (X=1) 0.108 0.012 ) 0.072 0.008
沒蛀牙 (X=0) 0.016 0.064 0.144 0.576

如果將這個表格寫成一整排,那麼將會以下列機率表格顯示。

蛀 X 痛 Y 找 Z P(X,Y,Z)
0 0 0 0.576
0 0 1 0.144
0 1 0 0.064
0 1 1 0.016
1 0 0 0.008
1 0 1 0.072
1 1 0 0.012
1 1 1 0.108

問題:

習題1:請計算 P(沒痛) = P(Y=0) = ?

習題2:請計算 P(找到 | 牙痛) = ?

習題3:請問這是一個合理的機率分布嗎?

習題4:請計算 P(Z=1 | X=1) = ?

習題5:請計算 P(Z=1, Y=1) = ?

習題6:請計算 P(蛀 | 找到), P(蛀), P(找到), P(找到 | 蛀) ,然後驗證下列貝氏定理是否成立。

P(找到|蛀)=P(蛀|找到)P(找到)/P(蛀)

解答:

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